SVD 与 PCA 的关系

不裁

原始矩阵X的分解(行是样品)

X = T * P' = t1*p1' + t2*p2' + .......+ tn*pn'(默认为列向量)

其中,T 是得分向量,P 是载荷向量。

T = [t1 t2 t3 ......tn]   

P = [p1 p2 p3 .....pn]

注意 P 的转置的写法
ti = X * Pi,说明了主成分投影的几何意义:每个得分向量是原始矩阵 X 在对应载荷向量方向上的投影,反映了样品与样品之间的关系。

SVD 与 PCA

X = u * s * v'

s 为对角阵,收集了 X 的奇异值,实际上是 X 协方差矩阵特征值的平方根。u 和 v’分别是标准列正交和行正交矩阵,收集了这些特征值对应的列正交矢量和行正交矢量。

其中,T = u * s等于得分矩阵。

P = v,也就是说 v 等于载荷矩阵。

光谱重构:X = T * P’ = u * s * v'
基变换:T = X * P 即 u * s = X * v